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康托尔的比较法
当你第一次思考这些问题的时候，它们可能会让你大吃一惊。不过，有一点并不难接受，无限集合的性质在某些方面或许与有限集合不太一样，其中一例便是它们与自身的某些子集有同样的大小。在19世纪，格奥尔格·康托尔（Georg Cantor，1845——1918）比我们走得远得多。他发现并非所有无限集合都拥有同样多的元素。这个发现出人意料，不过你一旦注意到它，就不难体会其中的含义。
康托尔要我们考虑以下这个问题。假设我们有一张无限长的数表L，里面有数a1，a2，…，可以把它们看作以小数形式给出的，那么可以写下一个在L中从未出现过的数a。我们只需要让a的小数点后第一位与a1的小数点后第一位不同，小数点后第二位与a2的小数点后第二位不同，小数点后第三位与a3的小数点后第三位不同，以此类推。这样，我们就构造出了数a，它与列表中任意一个数都不同。这个结论导致了一个直接后果，那便是数表L绝对不可能包含所有的数，因为L中缺失了数a。由此可知，全体实数的集合，即所有的小数展开式，不能被写在一个列表里。换句话说，实数集与自然数不能像图8里那样建立起一一对应的关系。这条推理链被称为康托尔对角线论证法（Cantor’s diagonal argument）。为了构造集合L外面的数a，我们想象了L的小数列表形式（如图9），并用这个阵列的对角线定义了a。